Question

已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）证明：.

Answer

（1）所求切线方程为；（2）

【解析】

试题（1）先求出导函数，根据对数的几何意义可得切线斜率，利用点斜式可得切线方程；（2）要证，只需证，利用导数研究两函数的单调性，从而求出两函数的最值即可证明，进而可得结论.

试题解析：（1）因为，

所以，

因为，所以曲线在点处的切线方程为.

（2）证明：要证，只需证，

设，

则，

令得，令得，所以，

因为，所以，

又，所以，

从而，即.

【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线、利用导数研究函数的单调性进而求最值以及利用导数证明不等式，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.