Question

设正数数列的前项和为，对于任意，是和的等差中项.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，是的前项和，是否存在常数，对任意，使恒成立？若存在，求取值范围；若不存在，说明理由.

Answer

；存在实数符合题意.

【解析】

根据是和的等差中项,可知,且，则当时,有,两式相减并化简即可求解;

由知,，由题意知,, 假设存在常数，对任意，使恒成立等价于对任意，恒成立,整理化简，利用分离参数法求解恒成立问题即可.

由是和的等差中项可知,,且，

则当时,有,

两式相减可得, ,

即,，化简可得,,

所以数列是以为首项,为公差的等差数列,

所以数列的通项公式为；

由知,,因为,所以数列的前项和,

假设存在常数，对任意，使恒成立

即对任意，恒成立,

等价于对任意，恒成立,即小于的最小值即可.

所以满足对任意，使恒成立.

所以存在这样的实数，对任意，使恒成立，实数的取值范围为.