Question

对于定义在上的函数，若函数满足：①在区间上单调递减;②存在常数，使其值域为，则称函数是函数的“渐近函数”.

（1）求证：函数不是函数的“渐近函数”；

（2）判断函数是不是函数，的“渐近函数”，并说明理由；

（3）若函数，，，求证：是函数的“渐近函数”充要条件是.

Answer

见解析；是,理由见解析；见解析.

【解析】

利用指数型函数的单调性、单调性的性质证明出函数至少不满足定义中两条性质中的一条即可;

用反比例函数的单调性可以判断函数是否满足定义中的两条性质,进而可以判断出函数是不是函数，的“渐近函数”；

根据定义可知,函数在区间上单调递减，根据单调性的定义可以求出的取值范围,再利用定义中的第二条性质再求出的取值范围,最后对两个范围取交集即为的值.

证明:因为函数=

即,由指数函数的单调性和复合函数的单调性可知,

函数满足在上单调递减;

当时,，，

所以当时,函数趋近于负无穷大,

此时不满足存在常数，使其值域为,

所以函数不是函数的“渐近函数”；

函数是函数，的“渐近函数”,理由如下:

因为,

化简可得,，

由反比例函数的单调性可知,函数是减函数;

当时, 函数有最大值为,

所以存在使函数的值域为

由此可得满足条件①②.

证明:(必要性)因为是函数的“渐近函数”,

令,则在区间上单调递减;

设,且则有

因为,且，所以,

即,

因为在区间上单调递减,且,

所以必有，即有,

所以必有成立;

因为在区间上单调递减,

所以当时,有最大值为,

即函数的值域必为，

即当时,有,即必有成立,

化简可得,即,

所以此时有成立;

综上可知,满足条件①②的实数为.

(充分性)当时,，

由反比函数的单调性知,满足

在区间上单调递减,且其值域为,满足条件①②;

所以是函数的“渐近函数”充要条件是.