Question

（本题满分12分）如下图所示：在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D是AB的中点．

（Ⅰ）求证：AC⊥BC₁；

（Ⅱ）求证：AC₁∥平面CDB₁；

Answer

（Ⅰ）、（Ⅱ）证明过程详见解析．

【解析】

试题（Ⅰ）利用三垂线定理即可证明；

（Ⅱ）设线段C1B的中点为E，连接DE，显然直线DE∥C1A，由直线与平面垂直的判定定理可得结论成立．

试题解析：

（Ⅰ）直三棱角柱ABC—A1B1C1底面三边长AC=3，BC=4，AB=5

∴AC⊥BC且BC1在平面ABC内的射影为BC

∴AC⊥BC1

（Ⅱ）设CB1与C1B的交点为E，连结DE

∵D是AB的中点，E是BC1的中点

∴DE∥AC1

DE平面CDB1，AC1平面CDB1，

∴AC1∥平面CDB1