Question

正方体的棱长为，以顶点为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的所有弧长之和等于________

Answer

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【解析】

球面与正方体的六个表面都相交，所得交线分为两类：一类在顶点A所在的三个表面上，三弧长相等，另一类在不过顶点A的三个表面上，三弧长相等。如图。在平面上的交线为弧EF，且在过球心A的大圆上，因为AE=2，,所以，同理 ，则，所以在顶点A所在的三个表面上的三弧长的和为；在平面上的交线为FG，且在距球心为的平面与球面相交所得的小圆上，小圆圆心为B，半径为1，，则在不过顶点A的三个表面上的三弧长的和为 。所以所得曲线长为。