Question

已知函数的定义域为，其中为常数；

（1）若，且是奇函数，求的值；

（2）若，，函数的最小值是，求的最大值；

（3）若，在上存在个点，满足，，

，使得，

求实数的取值范围；

Answer

(1) (2) (3)

【解析】

试题（1）因为函数为奇函数，根据奇函数定义可得可得对任意恒成立，变形可得对任意恒成立，可求；(2)将函数的解析式讨论去掉绝对值号，。两段函数的对称轴都为，因为。讨论 与-1的大小，可得两段二次函数在区间上的单调性，求得最小值。得最小值，求两段的取值范围，取较大的为最大值。（3）由（2）可知在上单调递增，在上单调递减，所以，由绝对值不等式可得，所以，整理得，解得为所求.

试题解析：【解析】
(1)∵是奇函数，∴对任意恒成立，

∴，即对任意恒成立，∴；

(2)

，

∵，∴，∴，

①当时，，在上递减，在递增，

②当时，，在上单调递增，

综上所述，，

若，则；若，则

∴当时，

(3)∵，且在上单调递增，在上单调递减，

∴

而

要使满足条件的点存在，必须且只需，即，解得为所求.