Question

如图，在直四棱柱中，底面是矩形，与交于点，．

（1）证明：平面．

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

Answer

(1)见解析.(2) .

【解析】

（1）根据线面垂直的判定定理，先证明平面，得到，进而可证明结论成立；

（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量、平面的一个法向量，求两向量夹角的余弦值，即可得出结果.

（1）证明：因为四棱柱是直四棱柱，所以平面，则 .

又，，

所以平面，所以.

因为，，所以是正方形，所以.

又，所以平面.

（2）因为四棱柱是直四棱柱，底面是矩形，所以以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则,，

, ,

设平面的法向量为

由，，可得，

令，则，

设直线与平面所成的角为，

则.

所以直线与平面所成角的正弦值为.