Question

定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的．如图，椭圆与椭圆是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点，椭圆的长轴长是4，椭圆长轴长是2，点，分别是椭圆的左焦点与右焦点.

（1）求椭圆，的方程；

（2）过的直线交椭圆于点，，求面积的最大值.

Answer

（1）椭圆的方程为，椭圆的方程是（2）

【解析】

（1）设椭圆的半焦距为，椭圆的半焦距为，直接利用椭圆的定义得到答案.

（2）设直线的方程为，联立方程得到，

，，利用均值不等式得到答案.

【解析】
（1）设椭圆的半焦距为，椭圆的半焦距为，由已知，=1，

∵椭圆与椭圆的离心率相等，即，

∴，即，

∴，即，∴，

∴椭圆的方程为，椭圆的方程是；

（2）显然直线的斜率不为0，故可设直线的方程为.

联立：，得，即，

∴，设，，

则，，∴，

的高即为点到直线：的距离，

∴的面积，

∵，等号成立当且仅当，即时成立

∴，即的面积的最大值为.