Question

对于以，为公共焦点的椭圆和双曲线，设是它们的一个公共点，，分别为它们的离心率.若，则的最大值为（    ）

A. B. C. D.

Answer

D

【解析】

设椭圆方程是1，双曲线方程是1，由定义可得|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，求出|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2，利用余弦定理，化简4的表达式，利用柯西不等式求解即可．

设椭圆方程是1，双曲线方程是1，

由定义可得|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，

∴|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2，

在△F1PF2中由余弦定理可得，

（2c）2＝（a1+a2）2+（a1﹣a2）2+2（a1+a2）（a1﹣a2）cos60°，

即4c2＝a12+3a22，

∴4，

由柯西不等式得（1）（）≥（1）2＝（）2，

即（）24，

即，当且仅当e1，e2时取等号．

故选：D．