Question

．

（1）若，求函数的单调区间；

（2）若，求证：．

Answer

（1）详见解析（2）详见解析

【解析】

试题（1）先求函数导数，再根据定义域研究导函数零点：当时，仅有一个零点；当时，有两个零点；列表分析导函数符号变号规律得单调区间（2）根据（1）得，将不等式转化为证明，构造函数。利用导数可得

试题解析：（1），，

则，

当时，在上单调增，上单调减，

当时，令，解得，，

当，解得，

∴，的解集为，；的解集为，

∴函数的单调递增区间为：，，

函数的单调递减区间为；

当，解得，

∴，的解集为；的解集为，

综上可知：，函数的单调递增区间为：，，函数的单调递减区间为；，函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为．

（2）证明：∵，故由（1）可知函数的单调递增区间为，单调递减区间为，

∴在时取极大值，并且也是最大值，即 ，

又∵，

∴，

设，，

∴的单调增区间为，单调减区间为，

∴，

∵，∴，∴，，

∴．