Question

如图，四棱锥中，，与都是边长为2的等边三角形，是的中点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求平面与平面所成二面角的大小.

Answer

（I）详见解析；（II）.

【解析】

试题（I）易知，故平面.（II）连接交于，以建立空间直角坐标系，利用平面与平面的法向量计算的二面角的大小为.

试题解析：

【解析】
（Ⅰ） 因为，

，是的中点.

所以，

且，

四边形是平行四边形，所以.

平面，平面

所以平面.

（Ⅱ）连接,设交于,连,

则四边形是正方形，所以.

因为,是中点,所以.

则,又.

所以是直角三角形,则；

因为,所以平面.

如图建立空间坐标系，

则，.

所以.

设是平面的法向量，则，

取，则，所以.

是平面的法向量，

.

取，则.

所以,

所以平面与平面所成二面角是90°.