Question

已知函数.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）当时，若关于的方程有唯一实数解，试求实数的取值范围；

（3）若函数有两个极值点，，且不等式恒成立，试求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）或；（3）.

【解析】

（1）对函数求导，求出的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得在点的切线方程；（2）原方程等价于，对求导得到函数单调区间,可知当时，；当时，,结合单调性可得到实数的取值范围；（3）对函数求导，可得，恒成立恒成立，将用替换，并构造函数，对求导可求得函数在上的最小值，即可知道实数的取值范围.

(1)当时，有,

，

,

过点的切线方程为，即.

（2）当时，有，其定义域为，

从而方程,可化为，令，

则，

由或,

在和上单调递增，在上单调递减，

且，

又当时，；当时，,

关于的方程有唯一实数解，所以实数的取值范围是或.

（3）的定义域为，

令,

又因为函数有两个极值点，

有两个不等实数根，

，且，

从而,

由不等式恒成立恒成立，

，

令,，

当时恒成立，所以函数在上单调递减，，故实数的取值范围是.