Question

今有一长2米宽1米的矩形铁皮，如图，在四个角上分别截去一个边长为x米的正方形后，沿虚线折起可做成一个无盖的长方体形水箱(接口连接问题不考虑)．

(Ⅰ)求水箱容积的表达式，并指出函数的定义域；

(Ⅱ)若要使水箱容积不大于立方米的同时，又使得底面积最大，求x的值．

Answer

(1) {x|0＜x＜} (2)

【解析】

(Ⅰ)由已知该长方体形水箱高为x米，底面矩形长为(2－2x)米，宽(1－2x)米．

∴该水箱容积为

f(x)＝(2－2x)(1－2x)x＝4x3－6x2＋2x

其中正数x满足∴0＜x＜.

∴所求函数f(x)定义域为{x|0＜x＜}．

(Ⅱ)由f(x)≤4x3，得x ≤ 0或x ≥，

∵定义域为{x|0＜x＜}，∴≤x＜.

此时的底面积为S(x)＝(2－2x)(1－2x)＝4x2－6x＋2

(x∈[，))．由S(x)＝4(x－)2－，

可知S(x)在[，)上是单调减函数，

∴x＝.即满足条件的x是.