Question

如果存在非零常数，对于函数定义域上的任意，都有成立，那么称函数为“函数”．

（Ⅰ）若，，试判断函数和是否是“函数”？若是，请证明：若不是，主说明理由：

（Ⅱ）求证：若是单调函数，则它是“函数”；

（Ⅲ）若函数是“函数”，求实数满足的条件．

Answer

（Ⅰ）是“函数”, 不是“函数”.理由见解析;（Ⅱ）证明见解析;（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）根据定义,代入解析式解不等式,分析是否存在C使得不等式恒成立,即可判断是否是“函数”.

（Ⅱ）讨论函数单调递增与单调递减两种情况,结合函数单调的性质即可证明是 “函数”；

（Ⅲ）根据题意可知为单调函数.代入后变形,可得关于的一元二次不等式,结合二次函数恒成立的解法,即可求得的取值范围.

（Ⅰ）是“函数”, 不是“函数”.理由如下:

若是“函数”

则满足

即,所以

解得,

即存在使是“函数”

若是“函数”

则满足

即,化简得

当时,不能恒成立

当时,不能恒成立,

综上可知,不是“函数”

（Ⅱ）证明:因为是单调函数,则为单调递增函数或单调递减函数.

若是单调递增函数,则当时,都有成立,函数为“函数”

若是单调递减函数,则当时,都有成立,函数为“函数”

综上可知,当为单调函数时,则它是“函数”

（Ⅲ）若函数是“函数”,

由，

则

化简可得恒成立

由二次函数性质可知满足

解得

所以或

即时,总存在C满足函数是“函数”

所以满足的条件为