Question

设数列的前项和为，若对于任意的正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”．

（）若数列的前项和为，证明：是“数列”．

（）设是等差数列，其首项，公差，若是“数列”，求的值．

Answer

（1）见解析在（2）

【解析】

(1)先根据和项与通项关系得当时，，再检验，时，不满足上述式子，所以结果用分段函数表示.最后计算得，即得结论， (2)先根据条件得，再根据整数条件得，结合，得．

【解析】
（）证明：当时，，

当时，，

∴，

∴对任意的，是数列中的第项，

∴数列是“数列”．

（）依题意，，，

若是“数列”，则对任意的，都存在使得，

即，

∴，

又∵，，

∴对任意的，且，

∴．