Question

已知数列中，，，.

（1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（2）在数列中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由；

（3）若且，，求证：使得，，成等差数列的点列在某一直线上.

Answer

（1）详见解析；（2），，成等差数列；（3）详见解析.

【解析】

试题（1）证明一个数列为等比或等差数列，一般都是从定义入手，本小题首先需要将已知条件变形为，由于，则（常数），然后根据等比数列的定义可知数列是以为首项，公比为的等比数列，即（）；

（2）本小题首先假设在数列中存在连续三项，，（，）成等差数列，则，代入通项公式可得，即，，成等差数列.

（3）本小题首先根据，，成等差数列，则，于是可得，然后通过不定方程的分类讨论可得结论

试题解析：（1）将已知条件变形为

由于，则（常数）

即数列是以为首项，公比为的等比数列

所以，即（）

（2）假设在数列中存在连续三项成等差数列，

不妨设连续的三项依次为，，（，），

由题意得，，

将，，代入上式得

化简得，，即，得，解得

所以，存在满足条件的连续三项为，，成等差数列

（3）若，，成等差数列，则

即，变形得11分

由于若，且，下面对、进行讨论：

① 若，均为偶数，则，解得，与矛盾，舍去；

② 若为奇数，为偶数，则，解得；

③ 若为偶数，为奇数，则，解得，与矛盾，舍去；

④ 若，均为奇数，则，解得，与矛盾，舍去；

综上①②③④可知，只有当为奇数，为偶数时，，，成等差数列，此时满足条

件点列落在直线（其中为正奇数）上