Question

已知椭圆左顶点为，上顶点为，直线的斜率为．

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）直线与椭圆交于两点，与轴交于点，以线段为对角线作正方形，若．

（i）求椭圆方程；

（ii）若点在直线上，且满足，求使得最长时，直线的方程．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）根据直线MN的斜率可得，即可求出离心率；

（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得及，根据勾股定理即可求出b的值；根据平行间的距离公式求出，再根据勾股定理和二次函数的性质即可求出最长时的值，即可求出直线的方程．

【解析】
（Ⅰ）左顶点为M，上顶点为N，直线MN的斜率为．

，

，

（Ⅱ）由Ⅰ知椭圆方程为，

设，，线段AC中点Q

则，整理得：，

由，

则，，

，

则，

由l与y轴的交点，

，，

，

，

即，

椭圆方程为；

由可知，

直线MN的方程为，

直线MN与直线l的距离为，

点E在直线MN上，且满足，

，

，

当时，此时最长，

故直线AC的方程.