Question

已知函数（，为常数）在内有两极值点

（1）求实数a的取值范围；

（2）求证：.

Answer

（1）（2）证明见解析

【解析】

（1）函数有两个极值点，转化为在内有两个不相等的实数解，利用函数的单调性和零点存在性定理即可得实数a的取值范围；

（2）构造新函数，利用单调性即可证明.

（1）由，可得，

记，有题意，知在上存在两个零点.

∵，

当时，，则在上递增，至少有一个零点，不合题意；

当时，由，得，

（i）若且，即时，在上递减，递增；

则，且，

从而在和上各有一个零点.

所以在上存在两个零点.

（ii）若，即时，在上递减，至多一个零点，舍去.

（iii）若且，即时，此时在上有一个零点，而在上没有零点，舍去.

综上可得，.

（2）令则

，

，

，

所以，在上递增，从而，

即，

∴而，且在递增；

∴，

∴.