Question

设函数.

（1）证明：，都有；

（2）若函数有且只有一个零点，求的极值.

Answer

（1）见解析；（2）时，的极大值为e−1，极小值为0．

【解析】

（1）令，求导得，利用导数判断出的单调性，

从而求出的最大值，最大值小于0，则命题得证；

（2）由得，两边同时取对数整理得，则的零点

个数等于解的个数，令，求导，求出，得出

，令，求导，借助的单调性得

出的符号，从而求出极值.

（1）证明：令，则，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以的最大值为，即，

所以，都有．

（2）【解析】
由得，则，所以，

所以的零点个数等于方程解的个数，

令，则，且，

所以在上单调递增，在上单调递减，又因为，

且由（1）知，，则当时，，

所以时，有且只有一个解，

所以若函数有且只有一个零点，则，此时，

∴，

令，则，

所以在上单调递减，在上单调递增，，

所以当时，，当时，，当时，，

∴当时，，则，则，

同理可得：当时，；当时，；

所以和分别是函数的极大值点和极小值点．

所以时，的极大值为e−1，极小值为0．