Question

已知直线与抛物线：交于，两点，为弦的中点，过作的垂线交轴于点.

（1）求点的坐标；

（2）当弦最长时，求直线的方程.

Answer

(1) . (2) 或.

【解析】

（1）设，，代入抛物线相减得到，再根据计算得到答案.

（2）直线的方程为，联立方程，根据韦达定理得到，

，代入计算得到得到答案.

（1）设，，，

则两式相减得.

因为，所以直线的斜率一定存在，设直线的斜率为，

所以.

因为，所以，

解得，所以点的坐标为.

（2）由（1）知，直线的斜率一定存在，且不为0，设直线的斜率为，

则，即，所以直线的方程为.

联立得，

则，.

由，可得，

所以.

设，令，

可知，此时，即，

所以当弦最长时，直线的方程为或.