Question

已知函数（其中）.

（1）讨论函数的极值；

（2）对任意，恒成立，求的取值范围.

Answer

（1）答案不唯一，具体见解析（2）

【解析】

（1）求出函数的定义域、导函数，对和分两种情况讨论可得；

（2）由（1）知当时，不符合题意；当时，的最大值为要使恒成立，即是使成立，令利用导数分析其单调性，即可求得的取值范围.

（1）的定义域为，，

①当时，，所以在上是减函数，无极值.

②当时，令，得，

在上，，是增函数；在上，，是减函数.

所以有极大值，无极小值.

（2）由（1）知，①当时，是减函数，令，则，

，不符合题意，

②当时，的最大值为，

要使得对任意，恒成立，

即要使不等式成立，

则有解.

令，所以

令，由，得.

在上，，则在上是增函数；

在上，，则在上是减函数.

所以，即，

故在上是减函数，又，

要使成立，则，即的取值范围为.