Question

如图所示，在中，，，与相交于点.设，.

（1）试用向量、表示；

（2）在线段上取一点，在线段上取一点，使过点，设，，求证：.

Answer

（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）设，由、、三点共线以及、、三点共线可得出关于与的方程组，解出这两个未知数，即可得出关于、的表达式；

（2）设，利用向量的减法运算可得出，结合可建立等式，通过化简计算可得出，即可得出结论.

（1）不妨设.

由于、、三点共线，则存在使得，

即，于是.

又，所以，

则，即.①

由于、、三点共线，则存在使得，

即，于是.

又，所以，

所以，即.②

由①②可得，，所以；

（2）由于、、三点共线，所以存在实数使得，

即，于是.

又，，所以，

所以，则，可得，

两式相加得.