Question

已知函数．

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）若函数有两个极值点，，证明: ．

Answer

（1）时，在单调递增；时，在区间，单调递增；在区间单调递减．（2）见解析

【解析】

（1）求出导函数，然后根据方程的判别式得到导函数的符号，进而得到函数的单调性；（2）由题意得到方程有两个根，故可得，且．然后可得，最后利用导数可证得，从而不等式成立．

（1）∵，

∴．

①当，即时，，

所以在单调递增；

②当，即时，

令，得，，且，，

当时，；

当时，；

∴单调递增区间为，；

单调递减区间为．

综上所述：当时，在单调递增；

时，在区间，单调递增；在区间单调递减．

（2）由（1）得．

∵函数有两个极值点，，

∴方程有两个根，，

∴，且，解得．

由题意得

．

令，

则，

∴在上单调递减，

∴，

∴．