Question

如图，在多面体中，四边形为菱形，，，且平面平面.

 

（1）求证：；

（2）若，，求二面角的余弦值.

Answer

(1)证明见解析；(2).

【解析】

【试题分析】(1)连接,根据菱形的几何性质有,由面面垂直的性质定理可知平面,所以,,,所以平面,所以.(2) 设，过点作的平行线，以为坐标原点建立空间直角坐标系,通过计算平面和平面的法向量来求二面角的余弦值.

【试题解析】

（1）证明：

连接，由四边形为菱形可知，

∵平面平面，且交线为，

∴平面，∴，

又，∴，

∵，∴平面，

∵平面，∴；

（2）【解析】
设，过点作的平行线，

由（1）可知两两互相垂直，

则可建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则，

所以，

设平面的法向量为，则，即，

取，则为平面的一个法向量，

同理可得为平面的一个法向量.

则，

又二面角的平面角为钝角，则其余弦值为.