Question

已知抛物线： （）的焦点是椭圆： （）的右焦点，且两曲线有公共点

（1）求椭圆的方程；

（2）椭圆的左、右顶点分别为， ，若过点且斜率不为零的直线与椭圆交于， 两点，已知直线与相较于点，试判断点是否在一定直线上？若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由.

Answer

(1) (2) 点在定直线上

【解析】

试题（1）由条件易得：，从而得到椭圆的方程；

（2）先由特殊位置定出，猜想点在直线上，由条件可得直线的斜率存在， 设直线，联立方程，消得：有两个不等的实根，利用韦达定理转化条件即可.

试题解析：

（1）将代入抛物线得

∴抛物线的焦点为，则椭圆中，

又点在椭圆上，

∴， 解得，

椭圆的方程为

（2）方法一

当点为椭圆的上顶点时，直线的方程为，此时点，，则直线和直线，联立，解得，

当点为椭圆的下顶点时，由对称性知： .

猜想点在直线上，证明如下：

由条件可得直线的斜率存在， 设直线，

联立方程，

消得：有两个不等的实根，

，

设，则，

则直线与直线

联立两直线方程得（其中为点横坐标）

将代入上述方程中可得，

即，

即证

将代入上式可得

，此式成立

∴点在定直线上.

方法二

由条件可得直线的斜率存在， 设直线

联立方程，

消得：有两个不等的实根，

，

设，则，

，

由，，三点共线，有：

由，，三点共线，有：

上两式相比得

，

解得

∴点在定直线上．