Question

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为边长为2的菱形，∠DAB＝60°，∠ADP＝90°，面ADP⊥面ABCD，点F为棱PD的中点．

（1）在棱AB上是否存在一点E，使得AF∥面PCE，并说明理由；

（2）当二面角D﹣FC﹣B的余弦值为时，求直线PB与平面ABCD所成的角．

Answer

（1）见解析；（2）45°

【解析】

（1）点E为棱AB的中点取PC的中点Q，连结EQ、FQ，推导出四边形AEQF为平行四边形，从而AF∥EQ，由此能证明AF∥平面PEC．（2）推导出ED⊥CD，PD⊥AD，且从而PD⊥面ABCD，故以D为坐标原点建立空间坐标系，利用向量法能求出直线PB与平面ABCD所成的角．

（1）在棱AB上存在点E，使得AF∥面PCE，点E为棱AB的中点．

理由如下：取PC的中点Q，连结EQ、FQ，由题意，FQ∥DC且，AE∥CD且，

故AE∥FQ且AE＝FQ．所以，四边形AEQF为平行四边形．所以，AF∥EQ，又EQ⊂平面PEC，AF⊄平面PEC，

所以，AF∥平面PEC．

（2）由题意知△ABD为正三角形，所以ED⊥AB，亦即ED⊥CD，又∠ADP＝90°，

所以PD⊥AD，且面ADP⊥面ABCD，面ADP∩面ABCD＝AD，

所以PD⊥面ABCD，故以D为坐标原点建立如图空间坐标系，

设FD＝a，则由题意知D（0，0，0），F（0，0，a），C（0，2，0），，

，，设平面FBC的法向量为，

则由得，令x＝1，则，，

所以取，显然可取平面DFC的法向量，

由题意：，所以a＝1．

由于PD⊥面ABCD，所以PB在平面ABCD内的射影为BD，

所以∠PBD为直线PB与平面ABCD所成的角，

易知在Rt△PBD中，从而∠PBD＝45°，

所以直线PB与平面ABCD所成的角为45°．