Question

已知设函数.

（1）若，求极值；

（2）证明：当，时，函数在上存在零点.

Answer

（1）取得极大值0，无极小值（2）见证明

【解析】

（1）通过求导得到，求出的根，列表求出的单调区间和极值.

（2）对进行分类，当时，通过对求导，得到在单调递减，找到其零点，进而得到的单调性，找到，，可证在上存在零点.

当时，根据（1）得到的结论，对进行放缩，得到，再由，可证在上存在零点.

（1）当时，，定义域为，由得．

当变化时，， 的变化情况如下表：

极大值

故当时，取得极大值，无极小值．

（2），．

当时，因为，所以，

在单调递减．

因为，，

所以有且仅有一个，使，

当时，，当时，，

所以在单调递增，在单调递减．

所以，而，

所以在存在零点．

当时，由（1）得，

于是，所以．

所以．

于是．

因为，所以所以在存在零点．

综上，当，时，函数在上存在零点．