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已知椭圆的左、右焦点分别为，以为直径的圆与直线相切. （1）求椭圆C的离心率； ...

已知椭圆的左、右焦点分别为，以为直径的圆与直线相切.

（1）求椭圆C的离心率；

（2）如图，过作直线l与椭圆分别交于两点，若的周长为，求的最大值.

 

（1）（2） 【解析】 （1）由题意和椭圆的性质可得，化简后得，即可得解； （2）转化条件得椭圆C的方程为，当直线斜率不存在时，求出、坐标后即可求出；当直线斜率不存在时，设，，联立方程组后由韦达定理得，，则，即可求出的最大值. （1）由题意知，即 化简得，所以； （2）因为的周长为，所以，得， 由（1）知，所以椭圆C的方程为， 且焦点为， ①若直线l斜率不存在，方程为，解方程组 可得或即，， 可得， 故 ②若直线l斜率存在，设l方程为由 解得 设，，则， 由可得. 综上所述，. 所以最大值是
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