Question

如图，四棱锥中，底面为四边形，是边长为2的正三角形，，，，平面平面.

（1）求证：平面；

（2）若二面角的平面角的余弦值为，求的长.

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）如图所示，为中点，连接，证明，得到证明.

（2）如图所示，过作于，连接，证明为二面角的平面角，计算得到答案.

（1）如图所示：为中点，连接，是正三角形，则.

平面平面，平面平面，故平面.

平面，故.

，，故平面.

（2）如图所示：过作于，连接.

，，为中点，故，故平面.

，故为二面角的平面角.

，故，，故.

，即，.