Question

如图，底面是等腰梯形，，，点为的中点，以为边作正方形，且平面平面.

（1）证明：平面平面.

（2）求点到平面的距离.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

(1)由、推出四边形是平行四边形，再由推出四边形是菱形从而可得，利用面面垂直的性质推出平面，即可推出两平面垂直；(2)由(1)及已知条件可得四边形是菱形且，推出相应边的长度进而求出的面积，利用面面垂直的性质由平面平面推出、从而可求OF，最后利用等体积法即可求得到平面的距离.

（1）因为点为的中点，，所以，

因为，所以，所以四边形是平行四边形.

因为，所以平行四边形是菱形，所以.

因为平面平面，且平面平面，

所以平面，

因为平面，所以平面平面.

（2）记，的交点为，连接.

由（1）可知平面，则.

因为底面是等腰梯形，，，所以四边形是菱形，且.

则，，从而的面积.

因为平面平面，且四边形为正方形，所以，，

所以，则.

设点到平面的距离为.

因为，所以，

即，解得.

故点到平面的距离为.