Question

如图，底面是等腰梯形，，点为的中点，以为边作正方形，且平面平面.

（1）证明：平面平面.

（2）求二面角的正弦值．

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

（1）先证明四边形是菱形,进而可知,然后可得到平面,即可证明平面平面;

（2）记AC,BE的交点为O,再取FG的中点P.以O为坐标原点,以射线OB,OC,OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系,分别求出平面ABF和DBF的法向量,然后由,可求出二面角的余弦值,进而可求出二面角的正弦值.

（1）证明：因为点为的中点,,所以,

因为,所以,所以四边形是平行四边形,

因为,所以平行四边形是菱形,所以,

因为平面平面,且平面平面,所以平面.

因为平面,所以平面平面.

（2）记AC,BE的交点为O,再取FG的中点P.由题意可知AC,BE,OP两两垂直,故以O为坐标原点,以射线OB,OC,OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系.

因为底面ABCD是等腰梯形,,所以四边形ABCE是菱形，且,

所以,

则,设平面ABF的法向量为,

则,不妨取,则,

设平面DBF的法向量为,

则,不妨取,则,

故.

记二面角的大小为,故.