Question

已知函数.

（1）求的极值；

（2）若，且，证明：.

Answer

（1）极大值为；的极小值为；（2）见解析

【解析】

（1）求导求出，求出单调区间，进而求出极值；

（2）由（1），结合极值点考虑与的大小关系，在为减函数，只需比较与大小关系，而，转化为比较与比较大小，构造函数，，通过求导求出的单调性，即可得出的不等量关系，同理构造函数，得出的不等量关系，即可证明结论.

（1）【解析】
因为，

所以，

所以当时，；

当时，，

则的单调递增区间为和，单调递减区间为.

故的极大值为；

的极小值为.

（2）证明：由（1）知.

设函数，，

，

则在上恒成立，即在上单调递增，

故，即在上恒成立.

因为，所以.

因为，且在上单调递减，

所以，即.①

设函数，，

，

则在上恒成立，即在上单调递增，

故，即在上恒成立.

因为，所以.

因为，，且在上单调递增，

所以，即.②

结合①②，可得.