Question

在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，且为等边三角形，若四棱锥的体积与四棱锥外接球的表面积大小之比为，则四棱锥的表面积为___________.

Answer

【解析】

设四棱锥外接球的球心为，等边三角形外接圆的圆心为，则为 的重心，可证四边形 为矩形，所以．设正方形 的边长为，则，所以，，得到四棱锥 外接球的表面积和体积为，结合题目条件解得，求出四棱锥 的各个面的面积，从而求出四棱锥 的表面积．

如图，

连接，交于点，取的中点为，连接.

设四棱锥外接球的球心为，等边三角形外接圆的圆心为，

则为的重心，则，正方形外接圆的圆心为.

因为，平面平面，

所以平面，所以，

所以四边形为矩形，

所以.

设正方形的边长为，则，

所以，，

所以四棱锥外接球的半径为，

所以四棱锥外接球的表面积为，

四棱锥的体积为，

所以，即，解得，

所以正方形的边长为2，所以，

所以四棱锥的表面积为.

故答案为：.