Question

已知函数，其图象与轴交于不同两点，，且.

（1）求实数的取值范围；

（2）证明：.

Answer

（1）（2）证明见解析

【解析】

（1）先变量分离得，再利用导数研究函数的单调性和极值，即得解；（2）先利用导数证明，再证明，不等式即得证.

（1）由，得.

令，则.

由，解得，所以在区间上单调递增；

由，解得，所以在区间上单调递减；

于是在处取得极小值，且.

又时，，

由于要使的图象与直线有两个不同的交点，

所以.

（2）由（1）知.

一方面，令，，

则，

又令，，

则.

易知在上单调递增，所以，

则在上单调递减，所以，于是，

所以在上单调递增.则，即.

所以.

又在区间上单调递增，所以，即.

另一方面，令，则，

易知在时，取得最小值，所以，即.

，∴.

∵，∴方程有唯一正根，则.

又，在区间单调递增，

所以根据零点存在定理，得在区间有唯一零点.

所以，

又，②

①代入②，得，解得.

于是.

令，，则

又令，则.

注意到为减函数，所以，

于是，从而为增函数，所以，

故为减函数，则，即.

所以，

又在区间上单调递增，所以，即.

综上，.