Question

如图，是⊙的直径，是⊙的切线，交⊙于E，过E的切线与交于D.

（I）求证：；

（II）若，，求的长.

Answer

（I）证明见解析；（II）.

【解析】

（I）连接，根据弦切角等于所夹的弧所对的圆周角，证得,由此证得,根据同角的余角相等，证得，由此证得，从而证得.（II）根据勾股定理和切割线定理列方程，解方程求得的长，进而求得的长.

（I）证明：

如图，连接AE，

∵AB是⊙O的直径，

AC，DE均为⊙O的切线，

∴∠AEC＝∠AEB＝90°，

∠DAE＝∠DEA＝∠B，

∴DA＝DE.

∠C＝90°－∠B＝90°－∠DEA＝∠DEC，

∴DC＝DE，

∴CD＝DA.

（II）∵CA是⊙O的切线，AB是直径，

∴∠CAB＝90°，

由勾股定理得CA2＝CB2－AB2，

又CA2＝CE×CB，CE＝1，，

∴1·CB＝CB2－2，

即CB2－CB－2＝0，解得CB＝2，

∴CA2＝1×2＝2，∴

由（I）知D是中点，

所以DE的长为.