Question

如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝1，PA＝AB＝ ，点E是棱PB的中点．

（1）求异面直线EC与PD所成角的余弦值；

（2）求二面角B-EC-D的余弦值．

Answer

（1）.（2.

【解析】

（1）先根据题意建立空间直角坐标系，分别求得向量和向量的坐标，再利用线线角的向量方法求解.

（2）分别求得平面BEC的一个法向量和平面DEC的一个法向量，再利用面面角向量方法求解，注意根据图形判断二面角与向量夹角的大小关系确定符号．

（1）因为PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，

所以AB，AD，AP两两垂直，

以A为原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

又因为PA＝AB＝ ，AD＝1，

所以A(0，0，0)，B ，C，D(0，1，0)，P

因为E是棱PB的中点，所以E，

所以＝，＝(0，1，－ )，

所以cos〈，〉＝＝，

所以异面直线EC与PD所成角的余弦值为.

（2）由（1）得＝，＝(0，1，0)，＝(，0，0)．

设平面BEC的法向量为＝(x1，y1，z1)，

所以

令x1＝1，则z1＝1，所以平面BEC的一个法向量为＝(1，0，1)．

设平面DEC的法向量为＝(x2，y2，z2)，

所以

令z2＝，则y2＝1，所以平面DEC的一个法向量为＝(0，1，)，

所以cos〈，〉＝＝

.由图可知二面角B-EC-D为钝角，所以二面角B-EC-D的余弦值为－.