Question

已知点，直线：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且满足．

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）过点作直线与轨迹交于，两点，为直线上一点，且满足，若的面积为，求直线的方程．

Answer

（1）；（2）或

【解析】

（1）设，则，利用，即可求解轨迹的方程；

（II）设的方程为，联立方程组，求得，又由，得到点，在利用弦长公式和点到直线的距离公式，即可表达的面积，求得的值，进而得到直线的方程；

（1）设，则，

，，

，，即轨迹的方程为.

（2）法一：显然直线的斜率存在，设的方程为，

由，消去可得：，

设，，，

，，

即

，

，即

，，即，

，

到直线的距离，

，解得，

直线的方程为或．

法2：（Ⅱ）设,AB的中点为

则

直线的方程为，

过点A,B分别作，因为为AB 的中点，

所以在中，

故是直角梯形的中位线，可得，从而

点到直线的距离为：

因为E点在直线上，所以有，从而

由解得

所以直线的方程为或．