Question

已知椭圆（）经过与两点.

（1）求椭圆的方程；

（2）过原点的直线与椭圆交于两点，椭圆上一点满足，求证：为定值.

Answer

（1）；（2）见解析.

【解析】

试题

(1)由题意将点的坐标代入椭圆方程即可求得椭圆的方程为；

(2)利用（1）中求得的椭圆方程结合题意分类讨论可证得为定值2.

试题解析：

（1）将 与（，）两点代入椭圆C的方程，

得解得． ∴椭圆PM2的方程为．

（2）由|MA|=|MB|，知M在线段AB的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A、B关于原点对称．

①若点A、B是椭圆的短轴顶点，则点M是椭圆的一个长轴顶点，此时

=．

同理，若点A、B是椭圆的长轴顶点，则点M在椭圆的一个短轴顶点，此时

=．

②若点A、B、M不是椭圆的顶点，设直线l的方程为y=kx（k≠0），

则直线OM的方程为，设A（x1，y1），B（x2，y2），

由解得，，

∴=，同理，

所以=2×+=2，

故=2为定值．