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在四面体中,,则当四面体的体积最大时,其外接球表面积为( ) A. B. C. ...

在四面体中,,则当四面体的体积最大时,其外接球表面积为(     

A. B. C. D.

 

A 【解析】 根据题意易得,当与垂直时四面体的体积能取得最大值,再取中点,设再列式求导分析当体积取最大值时的长度,进而求得外接球的半径即可. 由题,当与形状确定时,以为底面,易得当与垂直时四面体的高取得最大值,此时体积取最大值. 取中点,因为,故,. 设则.故的体积为. 令,则,易得当时取最大值. 此时. 此时根据对称性可知,球心必定在中.作于,作于. 易得分别为与的外心.故, . 故,.又为正方形,故. 故.故外接球表面积为 . 故选:A
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