Question

如图所示，四棱锥中，底面为菱形，底面，，，E为棱的中点，F为棱上的动点.

（1）求证：平面；

（2）若锐二面角的正弦值为，求点F的位置.

Answer

（1）证明见解析（2）点F为线段的中点

【解析】

(1)证明,即可.

(2) 以点A为坐标原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,设,进而利用空间向量求解锐二面角的正弦值关于的表达式,进而求得即可判断.

（1）如下图所示,由于四边形是菱形,则,

又∵,∴是等边三角形,∵E为的中点,∴,

∵,∴.

∵底面,平面,∴,

∵,平面,

∴平面；

（2）由（1）知,,且底面,以点A为坐标原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,

由则点,,

设,

则,

设平面的一个法向量为,

由,即,取,则,,则平面的一个法向量为,

同理可得平面的一个法向量为,

∵二面角的正弦值为

∴,解得.

因此,当点F为线段的中点时,二面角的正弦值为.