Question

已知．

（1）若在上恒成立，求实数的取值范围；

（2）证明：当时，．

Answer

(1) (2)证明见解析

【解析】

（1）求导，，讨论与1 的大小确定的正负，进而确定的最值即可证明

（2）由（1）取，得 ，要证，只需证，构造函数，证明即可证明

（1）法一：由题意，

① 若，即时，，则在单调递增，

则，则在单调递增，故，满足题意；

② 若，即时，存在，使得，且当时，，则在上单调递减，则，则在单调递减，此时，舍去；

③ 若，即时，，则在上单调递减，则，则在单调递减， ，舍去；

故．

法二：由题知，且，，

要使得在上恒成立，则必须满足，即，．

① 若时，，则在单调递增，则，

则在单调递增，故，满足题意；

② 若时，存在时，，则在上单调递减，则，则在单调递减，此时，舍去；

故．

（2）证明：由（1）知，当时，．取，

则

由（1），则，故，

要证，只需证．

令，则，，

当时，，则在上单调递增，有，

故在单调递增，故，

故，即有，得证