Question

已知f（x）=x-（a>0），g（x）=2lnx+bx且直线y=2x－2与曲线y=g（x）相切．

（1）若对[1，+）内的一切实数x，小等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；

（2）当a=l时，求最大的正整数k，使得对[e，3]（e=2．71828是自然对数的底数）内的任意k个实数x₁，x₂，，x_k都有成立；

（3）求证：．

Answer

（1）；（2）的最大值为．（3）见解析．

【解析】

试题（1）设点为直线与曲线的切点，则有． （*）

，． （**）

由（*）、（**）两式，解得，．

由整理，得，

，要使不等式恒成立，必须恒成立．

设，，

，当时，，则是增函数，

，是增函数，，

因此，实数的取值范围是．

（2）当时，，

，在上是增函数，在上的最大值为．

要对内的任意个实数都有

成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，

当时不等式左边取得最大值，时不等式右边取得最小值．

，解得．

因此，的最大值为．

（3）证明（法一）：当时，根据（1）的推导有，时，，

即．

令，得，

化简得，

．

（法二）数学归纳法：当时，左边=，右边=，

根据（1）的推导有，时，，即．

令，得，即．

因此，时不等式成立．

（另【解析】
，，，即．）

假设当时不等式成立，即，

则当时,，

要证时命题成立，即证，

即证．

在不等式中，令，得

．

时命题也成立．

根据数学归纳法，可得不等式对一切成立．