Question

给出下列五个命题：

①已知直线、和平面，若，，则；

②平面上到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是一条抛物线；

③双曲线，则直线与双曲线有且只有一个公共点；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直；

⑤过的直线与椭圆交于、两点，线段中点为，设直线斜率为，直线的斜率为，则等于.

其中，正确命题的序号为_______.

Answer

④⑤

【解析】

利用线面平行的判定定理可判断①的正误；结合抛物线的定义及条件可判断②的正误；利用双曲线渐近线的性质可判断③的正误；利用反证法结合线面垂直的定义可判断④的正误；利用点差法可判断⑤的正误.

①线面平行的前提条件是直线，所以条件中没有，所以①错误；

②当定点位于定直线上时，此时点到轨迹为垂直于直线且以定点为垂足的直线，只有当点不在直线时，轨迹才是抛物线，所以②错误；

③因为双曲线的渐近线方程为，当直线与渐近线平行时直线与双曲线只有一个交点，当直线与渐近线重合时，没有交点，所以③错误；

④若，，，且与不垂直，

假设，由于，则，这与已知条件矛盾，假设不成立，则与不垂直，所以④正确；

⑤设、，中点，则，，

把，分别代入椭圆方程，

得，两式相减得，

整理得，即，所以⑤正确.

所以正确命题的序号为④⑤.

故答案为：④⑤.