Question

已知函数．

（1）求函数的最大值；

（2）若函数与有相同极值点．

①求实数的值；

②若对于（为自然对数的底数），不等式恒成立，

求实数的取值范围．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）1； （ⅱ）．

【解析】

试题（1）求导函数，确定函数的单调性，从而得函数的最大值；（2）（ⅰ）求导函数，利用函数与有相同极值点，可得是函数的极值点，从而求解的值；（ⅱ）先求出，，，，，再将对于，不等式恒成立，等价变形，分类讨论，即可求解实数的取值范围．

试题解析：（1），

由得，由得，

∴在上为增函数，在上为减函数，

∴函数的最大值为；

（2）∵，∴，

（Ⅰ）由（1）知，是函数的极值点，又∵函数与有相同极值点，

∴是函数的极值点，∴，解得，

经检验，当时，函数取到极小值，符合题意；

（ⅱ）∵，，， ∵， 即，∴，，

由（ⅰ）知，∴，当时，，当时，，

故在为减函数，在上为增函数，∵，

而，∴，∴，，

①当，即时，对于，不等式恒成立

，

∵，∴，又∵，∴，

②当，即时，对于，不等式，

，

∵，∴，又∵，

∴．综上，所求的实数的取值范围为．