Question

已知数列是等比数列，数列是等差数列，且，，，.

求（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和.

Answer

(Ⅰ) ；(Ⅱ) .

【解析】

试题（I）列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得关于首项 ，公比 的方程组，解得、的值，即可求的通项公式；(II) 由（Ⅰ）知，

所以，利用分组求和法，根据等差数列与等比数列的求和公式即可得出数列的前项和.

试题解析：（Ⅰ）设等比数列的公比为，则，

所以，，所以.

设等比数列的公比为，

因为，，

所以，即，则.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，

所以.

从而数列的前项和

【方法点晴】本题主要考查等差数列的通项公式及等比数列的通项和利用“分组求和法”求数列前项和，属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.