Question

已知函数

(1)当时,求函数的单调递增区间;

(2)在区间内至少存在一个实数,使得成立,求实数的取值范围.

Answer

（1）单调递增区间是和；（2）.

【解析】

试题（1）先确定函数，然后对函数进行求导，利用导数的正负建立不等式，求得函数的单调性与单调区间；（2）先对函数进行求导，然后通过分类讨论，确定函数的单调性，求得函数的最小值，利用最小值小于0，建立不等式，求解不等式，得到实数的取值范围.

试题解析：(1)当时,,由,得或,

所以函数在与上为增函数,

即函数的单调递增区间是和.

(2),

当,即时,在[1,2]恒成立,

在[1,2]上为增函数,故,

所以,这与矛盾.

当,即时,若,则;

若,则所以当时,取得最小值,

因此,即,可得,

这与矛盾.

当,即时,在[1,2]恒成立,在[1,2]上为减函数,

所以,

所以,解得,满足.

综上所述,实数的取值范围为