Question

四棱锥中，底面为矩形，，为的中点．

(1)证明：；

(2)设，三棱锥的体积，求二面角DAEC的大小

Answer

（1）见解析（2）

【解析】

试题（1）可先连结BD交AC于点O,连结EO，根据中位线性质可证明EO//P，从而可得结论；（2）由三棱锥的体积，可得，以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系A—xyz, 分别求出平面DAE与平面ACE的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.

试题解析：（1）连结BD交AC于点O,连结EO

因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点

又E为的PD的中点，所以EO//PB

EO平面AEC,PB平面AEC，所以PB//平面AEC

（2）因为PA平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB,AD,AP两两垂直

如图，以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系A—xyz,

三棱锥的体积,

则A(0, 0 ,0)， D(0, ,0)，B(,0,0)，E(0, ,)，C (, ,0)，

则=(0, ,)， =(, ,0)，设为平面ACE的法向量，

则 即

令，得，，则

又为平面DAE的法向量，

，

如图可得二面角为锐角，所以二面角为

【方法点晴】

本题主要考查线面平行以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.