Question

在平面直角坐标系O中，直线与抛物线＝2相交于A、B两点．

（1）求证：命题“如果直线过点T（3，0），那么＝3”是真命题；

（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．

Answer

（1）见解析；

（2）见解析.

【解析】

（1）直线方程与抛物线方程联立，消去后利用韦达定理判断的值是否为3，从而确定此命题是否为真命题；

（2）根据四种命题之间的关系写出该命题的逆命题，然后再利用直线与抛物线的位置关系知识来判断其真假.

（1）证明：设过点的直线交抛物线于点，

当直线的斜率不存在时，直线的方程为，

此时，直线与抛物线相交于，

所以，

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，其中，

，得，

则，

又因为，

所以，

综上所述，命题“如果直线过点T（3，0），那么＝3”是真命题；

（2）逆命题是：“设直线与抛物线＝2相交于A、B两点，如果＝3，那么该直线过点”，该命题是假命题，

例如：取抛物线上的点，此时＝3，直线AB的方程为，而T（3，0）不在直线AB上.