Question

已知椭圆，过原点的两条直线和分别于椭圆交于、和、，记得到平行四边形的面积为．

（1）设，，用、的坐标表示点到直线的距离，并证明．

（2）设与的斜率之积为，求面积的值．

Answer

（1），证明见解析（2）

【解析】

（1）直接用点到直线的距离公式可得，利用面积公式化简可得答案.

（2）根据斜率乘积为可得，再利用、在椭圆上，得，利用，配方可解得，代入即可得到结论.

（1）当与的斜率都存在时，依题意，直线的方程为，所以点到直线的距离为

，

由，

所以，

当与的斜率之一不存在时，同理可知结论成立；

（2）设直线、的斜率分别为、，则，

所以，

所以，

因为、在椭圆上，

所以，

即，

所以，

所以，

所以，

所以