Question

已知点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））是函数f（x）＝2sin（ωx+φ）图象上的任意两点，且角φ的终边经过点，若|f（x₁）﹣f（x₂）|＝4时，|x₁﹣x₂|的最小值为．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）求函数f（x）的单调递增区间；

（3）当时，不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）由角终边所过点求出，从而确定角，由|x1﹣x2|的最小值确定函数的周期，从而确定，得函数解析式；

（2）由正弦函数的单调性可得f（x）的单调递增区间；

（3）先得出的范围，知大于0，因此恒成立的不等式可用分离参数法变为，因此只要求得的最大值即可得的取值范围．

（1）角φ的终边经过点，

∴，

∵，∴．

由|f（x1）﹣f（x2）|＝4时，|x1﹣x2|的最小值为，得，

即，∴ω＝3

∴

（2）由，

可得，

∴函数f（x）的单调递增区间为，k∈z

（3 ） 当时，，

于是，2+f（x）＞0，

∴mf（x）+2m≥f（x）等价于

由，得的最大值为

∴实数m的取值范围是．